本文目录一览：

• 1、为什么点集拓扑学里的开集和邻域看起来像是循环定义?
• 2、什么是点集拓扑，什么是代数拓扑，二者有啥区别与联系？
• 3、请问学习拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）要什么基础？

为什么点集拓扑学里的开集和邻域看起来像是循环定义?

开集是一个本原的概念，并不是通过每个点有一个邻域来定义的，开集也好闭集也罢，切记从一个出发，就没有循环定义一说了。

拓扑空间的定义有很多出发点，Hausdorff从邻域公理出发给出了一个邻域拓扑的定义，这种定义方式，让我们从度量空间到拓扑空间，理解起来似乎要更形象一点，但是并不简洁，所以拓扑空间更一般的定义是使用开集来定义。

但是我们随后发现（作者随后阐述了），这个”XX“拥有邻域的4个公理性质，也就是说如果我们把开集的3条性质作为先验的公理的话，我们可以定义出一个叫做”XX“的结构，它拥有的4条可以推出以邻域出发后推出的其他东西，所以我们完全可以把开集作为最basic的。

总结：

然后从开集的3条公理出发的话，我们的”XX“具有和另一个体系的”邻域“一样的性质和行为。注意，此时我们的开集体系里还没有”邻域“这个词。

为了表现、记忆我们开集体系里的”XX“和邻域体系的”邻域“的相同的性质和行为，我们干脆给这个”XX“取个正式的名字，他的名字叫”领域“。

什么是点集拓扑，什么是代数拓扑，二者有啥区别与联系？

《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑，组合拓扑的奠基人是H.庞加莱，1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间（多面体）的同调群，引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量，单纯同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想，即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形，如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S。庞加莱猜想尚未被证明。推广了的庞加莱猜想，对于n≥5的情形，为S.斯梅尔于1961年证明，对n＝4的情形，为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类，但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形，它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论，得到了霍普夫不变量，证明了莱夫谢茨不动点定理，亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群产生。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来，建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列，在同伦群的计算方面取得不少成就。此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。

请问学习拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）要什么基础？

点集拓扑 理论上基本不需要什么前置基础的，但是懂点 数分、实变、高代会很有帮助

代数拓扑 微分拓扑的级别远大于 点集拓扑

代数拓扑的话 前提是要非常熟悉 高等代数和抽象代数 以及点集拓扑，这些可能还不太够，往细了去可能还需要 对 Galois理论和 交换代数、代数几何有一定的基础。本科阶段的抽象代数貌似不够。

解析几何和微分几何(你应该说的是本科的微分几何，也就是19世纪及以前的微分几何)什么的，理论上是不需要的，但是懂了会有所帮助。

微分拓扑，跟代数拓扑有较大的差别，需要初步微分几何作前置，最好还要会点实分析和复分析的内容（理论上是不需要的，但是会了会很有帮助，因为很多特殊的例子都是通过欧氏空间的情况来理解的），当然，跟代数拓扑一样，也要有一定的代数基础，特别是张量方面（本科的抽象代数可能不太够，所以学代数拓扑和微分拓扑之前最好先学完交换代数的课程）。另外，懂点泛函的基础知识也会很有帮助的。

代数拓扑和微分拓扑前最好能有点 数论基础，尤其是代数拓扑，会很有帮助。但不是必要的。